Question

20．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-n．
（Ⅰ）证明数列{a_n+1}是等比数列，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用数列递推式，结合等比数列的定义，即可得到结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，利用“裂项法”即可求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）证明：令n=1，得a₁=2a₁-1，由此得a₁=1．
由于S_n=2a_n-n，则S_n+1=2a_n+1-（n+1），
两式相减得S_n+1-S_n=2a_n+1-（n+1）-2a_n+n，
即a_n+1=2a_n+1．
∴a_n+1+1=2a_n+1+1=2（a_n+1），即$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n+1}}$=2，
故数列{a_n+1}是等比数列，其首项为a₁+1=2，
故数列{a_n+1}的通项公式是a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
故数列{a_n}的通项公式是a_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$，
=$\frac{（{2}^{n+1}-1）-（{2}^{n}-1）}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
所以T_n=b₁+b₂+…+b_n=（$\frac{1}{{2}^{1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{2}-1}$）+（$\frac{1}{{2}^{2}-1}$-$\frac{1}{{2}^{3}-1}$）+…+（$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，），
=$\frac{1}{{2}^{1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{1}{{2}^{2}-1}$-$\frac{1}{{2}^{3}-1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
数列{b_n}的前n项和T_n=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查“裂项法”求数列的前n项和公式，考查计算能力，属于中档题．