Question

11．已知函数f（x）=|2x-m|（m为常数），对任意x∈R，均有f（x+3）=f（-x）恒成立．有下列说法：
①f（x）是以3为周期的函数；
②若g（x）=f（x）+|2x-b|（b为常数）的图象关于直线x=1对称，则b=1；
③若0＜2α＜β+2且f（α）=f（β+3），则必有-$\frac{1}{12}$≤3α²+β＜$\frac{2}{3}$；
④已知定义在R上的函数F（x）对任意x均有F（x）=F（-x）成立，且当x∈[0，3]时，F（x）=f（x），又函数h（x）=-x²+c（c为常数），若存在x₁、x₂∈[-1，3]使得|F（x₁）-h（x₂）|＜1成立，则c的取值范围是（-1，13）
其中说法正确的有②③④．

Answer 1

分析 ①由题意求出m值，可得f（x）=|2x-3|，其图象关于直线x=$\frac{3}{2}$对称，说明①错误；
②由函数g（x）=f（x）+|2x-b|（b为常数）的图象关于直线x=1对称，可得g（2-x）=g（x）解出即可；
③由f（α）=f（β+3）=f（-β），得α=-β或α-β=3，结合0＜2α＜β+2，得α=-β，且0$＜α＜\frac{2}{3}$，求出3α²+β的范围判断③；
④当x∈[0，3]时，F（x）=f（x）=|2x-3|，可得F（x）取值范围；再利用F（x）是偶函数．可得当x∈[-1，0）时，F（x）=F（-x）=|2x+3|，可得F（x）的取值范围．可得x∈[-1，3]时，F（x）的值域．由函数h（x）=-x²+c，x∈[-1，3]，利用二次函数的单调性可得h（x）_max，h（x）_min．存在x₁，x₂∈[-1，3]使得|F（x₁）-h（x₂）|＜1成立，只要|F（x）_min-h（x）_max|＜1，且|F（x）_max-h（x）_min|＜1．解出c的范围判断．

解答 解：①对任意的x∈R，f（x+3）=f（-x）恒成立?|2x+6-m|=|2x+m|?6-m=m，解得m=3，∴f（x）=|2x-3|，其图象关于直线x=$\frac{3}{2}$对称，
而关于y轴不对称，因此不是偶函数，∴f（x+3）=f（-x）≠f（x），故①错误
②∵函数g（x）=f（x）+|2x-b|（b为常数）的图象关于直线x=1对称，
∴g（2-x）=g（x），∴|2（2-x）-3|+|2（2-x）-b|=|2x-3|+|2x-b|，对于任意实数恒成立．
化为|2x-1|+|2x-（4-b）|=|2x-3|+|2x-b|，对于任意实数恒成立，∴4-b=3，b=1，故②正确；
③由f（α）=f（β+3）=f（-β），得α=-β或α-β=3，又∵0＜2α＜β+2，∴α=-β，且0$＜α＜\frac{2}{3}$，
∴-$\frac{1}{12}$≤3α²+β＜$\frac{2}{3}$，故③正确；
④当x∈[0，3]时，F（x）=f（x）=|2x-3|，可得F（x）∈[0，3]；
∵定义在R上的函数F（x）对任意x均有F（x）=F（-x）成立，∴F（x）是偶函数．
∴当x∈[-1，0）时，F（x）=F（-x）=|-2x-3|=|2x+3|，可得F（x）∈[1，3）．
综上可得：x∈[-1，3]时，F（x）∈[0，3]．
由函数h（x）=-x²+c，x∈[-1，3]，可得h（x）_max=c，h（x）_min=c-9．
∵存在x₁，x₂∈[-1，3]使得|F（x₁）-h（x₂）|＜1成立，
∴只要|F（x）_min-h（x）_max|=0-c＜1，且|F（x）_max-h（x）_min|=c-9-3＜1．
解得-1＜c且c＜13，因此c∈（-1，13），故④正确．
∴正确的命题是：②③④．
故答案为：②③④．

点评 本题考查了函数的奇偶性、对称性、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论和数形结合思想方法，属于难题．