Question

19．已知函数f（x）=2|x-2|+ax（x∈R）．
（1）当f（x）有最小值时，求a的取值范围；
（2）若函数h（x）=f（sinx）-2存在零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先把f（x）写出分段函数，要使得f（x）有最小值，a+2≥0且a-2≤0；
（2）函数h（x）=f（sinx）-2存在零点等价于“方程（a-2）sinx+2=0有解“，亦即$sinx=-\frac{2}{a-2}$有解．

解答 解：（1）$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{（{a+2}）x-4，x≥2}\\{（{a-2}）x+4，x＜2}\end{array}}\right.$，要使函数f（x）有最小值，
需$\left\{\begin{array}{l}{a+2≥0}\\{a-2≤0}\end{array}\right.$∴-2≤a≤2，故a的取值范围为[-2，2]．

（2）∵sinx∈[-1，1]，
∴f（sinx）=（a-2）sinx+4，
“h（x）=f（sinx）-2=（a-2）sinx+2存在零点”等价于
“方程（a-2）sinx+2=0有解“，亦即$sinx=-\frac{2}{a-2}$有解，
∴$-1≤-\frac{2}{a-2}≤1$，解得a≤0或a≥4，
∴a的取值范围为（-∞，0]∪[4，+∞）．

点评 本题主要考查了绝对值函数与分段函数性质、函数零点、等价转化思想，属中等题．