Question

19．已知角α的终边经过点$（-\sqrt{3}，1）$，则对函数f（x）=sinαcos2x+cosαcos（2x-$\frac{π}{2}$）的表述正确的是（　　）

• A． 对称中心为$（\frac{π}{3}，0）$
• B． 函数y=sin2x向左平移$\frac{5π}{6}$个单位可得到f（x）
• C． f（x）在区间$（-\frac{2π}{3}，-\frac{π}{6}）$上递增
• D． 方程f（x）=0在区间$[-\frac{5π}{6}，0]$上有三个零点

Answer 1

分析 由题意：角α的终边经过点$（-\sqrt{3}，1）$，求出sinα，cosα的值，带入化简函数f（x），根据三角函的性质对下列各选项进行判断即可得到答案．

解答 解：由题意：角α的终边经过点$（-\sqrt{3}，1）$，
那么：sinα=$\frac{1}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+1}}=\frac{1}{2}$，cosα=$\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+1}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
则：函数$f（x）=sinαcos2x+cosαcos（2x-\frac{π}{2}）$
=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x
=cos（2x+$\frac{π}{3}$）
对称中为（$\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{12}$，0）（k∈Z），考查A不对．
函数y=sin2x向左平移$\frac{5π}{6}$个单位得到：sin2（x$+\frac{5π}{6}$）=cos（2x-$\frac{π}{3}$），故B不对．
函数f（x）在2kπ-π≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ，（k∈Z）是增函数，考查C对．
如果x∈$[-\frac{5π}{6}，0]$上，则-$\frac{4π}{3}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{3}$，（k∈Z），方程f（x）=0只有1个零点．D不对．
故选C．

点评 本题考查了三角函数的定义和三角函数的化简计算，性质的综合应用．属于中档题．