Question

已知函数f（x）=log

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（x²-2ax+3）．
（1）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；
（2）若f（-1）=-3，求f（x）单调区间；
（3）是否存在实数a，使f（x）在（-∞，2）上为增函数？若存在，求出a的范围？若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）x²-2ax+3＞0恒成立，△＜0
（2）求出a转化为二次函数问题
（3）根据符合函数单调性求解．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=log

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（x²-2ax+3）的定义域为R，
∴x²-2ax+3＞0恒成立，△＜0，4a²-12＜0
即a的取值范围-

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＜a＜

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（2）∵f（-1）=-3，∴a=2
∵f（x）=log

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（x²-4x+3）．x²-4x+3＞0，x＜1或x＞3
设m（x）=x²-4x+3，对称轴x=2，
∴在（-∞，1）上为减函数，在（3，+∞）上为增函数
根据符合函数单调性规律可判断：
f（x）在（-∞，1）上为增函数，在（3，+∞）上为减函数
（3）函数f（x）=log

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（x²-2ax+3）．
设n（x）=x²-2ax+3，
可知在（-∞，a）上为减函数，在（a，+∞）上为增函数
∵f（x）在（-∞，2）上为增函数
∴a≥2且4-4a+3＞0，a≥2且a＜

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，不可能成立．
不存在实数a，使f（x）在（-∞，2）上为增函数．

点评：本题综合考察了函数的性质，结合不等式求解，对函数理解的比较透彻才能做这道题．