Question

已知函数f（x）=

1

2

ax²-（2a+1）x+2lnx（a＞0）．
（Ⅰ） 若a≠

1

2

，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当

1

2

＜a＜1时，判断函数f（x）在区间[1，2]上有无零点？写出推理过程．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）对函数f（x）进行求导，f′(x)=

(ax-1)(x-2)

x

，再分0＜a＜

1

2

和a＞

1

2

两种情况讨论．
（Ⅱ）结合着（Ⅰ）中的结论，得到f（x）在[1，

1

a

]上单调递增，在[

1

a

，2]上单调递减，从而判断f(x)max=f(

1

a

)=-2-

1

2a

-2lna＜0，再进一步解答．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′(x)=ax-(2a+1)+

2

x

（x＞0）．
即 f′(x)=

(ax-1)(x-2)

x

（x＞0）．
∵

1

a

-2=

1-2a

a

，∵a＞0，a≠

1

2

∴0＜a＜

1

2

时，

1

a

＞2a＞

1

2

时，

1

a

＜2，由f'（x）＞0得x＞

1

a

或x＜2
由f'（x）＜0得2＜x＜

1

a

所以当0＜a＜

1

2

，f（x）的单调递增区间是（0，2]和[

1

a

，+∞)，单调递减区间是[2，

1

a

]
同理当a＞

1

2

，f（x）的单调递增区间是(0，

1

a

]和[2，+∞），单调递减区间是[

1

a

，2]
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
当

1

2

＜a＜1时，f（x）在[1，

1

a

]上单调递增，在[

1

a

，2]上单调递减，
故f(x)max=f(

1

a

)=-2-

1

2a

-2lna．
由

1

2

＜a＜1可知-2-2lna＜0，f（x）_max＜0，
故在区间[1，2]f（x）＜0．恒成立．
故当a＞

1

2

时，函数f（x）在区间[1，2]上没有零点．（注意：仅证明f（1）＜0，f（2）＜0就说明无零点不得分）

点评：本题是导数部分的常考内容，需要注意的是，再含参数的函数式中，一般求单调区间时可能都会涉及到分类讨论，讨论时要根据导数式的特征做到“不重不漏”，导数为我们研究很多函数的性质提供了强有力的工具，也是高考中的常考知识点．