Question

在△ABC中，若3cos²

A-B

2

+5cos²

C

2

=4，则tanC的最大值为（　　）

• A、-

  3

  4

• B、-

  4

  3

• C、-

  2

  4

• D、-2

  2

Answer 1

考点：二倍角的余弦,两角和与差的余弦函数

专题：解三角形

分析：在△ABC中，化简条件可得3cos（A-B）+5cosC=0，tanAtanB=

1

4

，再利用基本不等式求得tanA+tanB的最小值．求得-tanC=tan（A+B）的最小值，可得tanC的最大值．

解答： 解：在△ABC中，∵3cos²

A-B

2

+5cos²

C

2

=4，即3×

1+cos(A-B)

2

+5×

1+cosC

2

=4，
化简可得 3cos（A-B）+5cosC=0，
∴（3cosAcosB+3sinAsinB）-（5cosAcosB-5sinAsinB）=0，
∴-2cosAcosB+8sinAsinB=0，
∴4sinAsinB=cosAcosB，
∴tanAtanB=

1

4

．
很明显，tanA、tanB同号，又tanA、tanB最多有一者小于0，
∴tanA、tanB均为正数，
∴tanA+tanB≥2

tanAtanB

=1，
又tanC=-tan（A+B），
∴-tanC=tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

≥

1

1- 1 4

=

4

3

，
∴tanC≤-

4

3

，
∴tanC的最大值为-

4

3

，
故选：B．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换、同角三角函数的基本关系、两角和差的三角函数，基本不等式的应用，属于中档题．