Question

若f(x)=sin(2ωx-

π

6

)的图象关于直线x=

π

3

对称，其中ω∈(-

1

2

，

5

2

)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）的图象向左平移

π

3

个单位，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到y=g（x）的图象，求y=g（x）的解析式；
（3）若函数y=g（x）（x∈(

π

2

，3π)）的图象与y=a的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求a的值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,数列的应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意可得2ω•

π

3

-

π

6

=kπ+

π

2

(k∈Z)，求得ω的值，可得函数f（x）的解析式．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得函数g（x）的解析式．
（3）设函数g（x）的图象与y=a的图象有三个交点的横坐标为：（x₁，a），（x₂，a），（x₃，a），且

π

2

＜x1＜x2＜x3＜3π．结合图象的对称性有

x 2 2 =x1x3 x1+x2=2π x2+x3=4π

，解得x2=

4π

3

，从而求得a的值．

解答： 解：（1）∵f(x)=sin(2ωx-

π

6

)的图象关于直线x=

π

3

对称，
∴2ω•

π

3

-

π

6

=kπ+

π

2

(k∈Z)，
解得ω=

3k

2

+1(k∈Z)．
又∵ω∈(-

1

2

，

5

2

)，
∴k=0，ω=1，
∴f(x)=sin(2x-

π

6

)．
（2）将f(x)=sin(2x-

π

6

)的图象向左平移

π

3

个单位后，得到的图象的函数解析式为y=cos2x，
再将y=cos2x图象的横坐标变为原来的2倍后得到y=g（x）的图象，所以g（x）=cosx．
（3）设函数g（x）=cosx（x∈(

π

2

，3π)）的图象与y=a的图象有三个交点的横坐标为：
（x₁，a），（x₂，a），（x₃，a），且

π

2

＜x1＜x2＜x3＜3π．
则由已知，结合图象的对称性有

x 2 2 =x1x3 x1+x2=2π x2+x3=4π

，解得x2=

4π

3

，
∴a=cos

4π

3

=-

1

2

．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．