Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），F是双曲线C的右焦点，点A是渐近线上第一象限内的一点，O为坐标原点，且|OA|=

a2+b2

，若

OF

•

OA

=

2

3

b²，则该双曲线的离心率为（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、2
• D、

  5 +1

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆

分析：设出双曲线的右焦点，求出渐近线方程，设出A的坐标，再由条件求得m=a，再由向量的数量积的坐标公式，可得a，c的关系，由离心率公式计算即可得到．

解答： 解：设双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦点F（c，0），
渐近线方程为y=±

b

a

x，可设A（m，

bm

a

）（m＞0），
由|OA|=

a2+b2

，
即有m²+

b2m2

a2

=a²+b²，即为m=a，
即有A（a，b），
由

OF

•

OA

=

2

3

b²，
则ac=

2

3

b²=

2

3

（c²-a²），
解得，c=2a，即有e=

c

a

=2．
故选C．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查平面向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．