Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，在正方体的侧面BCB₁C₁上到点A距离为

2 3

3

的点的集合形成一条直线，那么这条曲线的形状是

 

，它的长度是

 

．
若将“在正方体的侧面BCC₁B₁上到点A距离为

2 3

3

的点的集合”改为在正方体表面上与点P的距离为

2 3

3

的点的集合”那么这条曲线的形状又是

 

，它的长度又是

 

．

Answer 1

考点：抛物线的定义

专题：计算题

分析：首先由题意要弄清楚曲线的形状，再根据曲线的性质及解析几何知识即可求出长度．

解答： 解：在正方体的侧面BCB₁C₁上到点A距离为

2 3

3

的点的集合形成圆弧，如图：
且B₁BCC₁为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，由于截面圆半径为r=

3

3

，
故各段弧圆心角为

π

2

，它的长度是

π

2

•

3

3

=

3 π

6

；
由题意，此问题的实质是以A为球心、

2 3

3

为半径的球在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁各个面上交线的长度计算，
正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：
ABCD、AA₁DD₁、AA₁BB₁为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为

π

6

、
A₁B₁C₁D₁、B₁BCC₁、D₁DCC₁为与球心距离为1的截面，
截痕为小圆弧，由于截面圆半径为r=

3

3

，故各段弧圆心角为

π

2

．
∴这条曲线长度为3•

π

6

•

2 3

3

+3•

π

2

•

3

3

=

5 3 π

6

，
故答案为：圆弧、

3 π

6

；各个面上的圆弧、

5 3 π

6

．

点评：本题以正方体为载体，考查轨迹的判断，长公式的应用，解题时要认真审题，仔细观察，避免出错．