Question

已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（x+6）=0成立．若y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，且f（7）=4，则f（2015）=

 

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Answer 1

考点：函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的周期定义得出f（x）的周期为12，y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，f（x）的图象关于点（0，0）对称，f（-x）=-f（x），
利用周期得出f（2015）=f（-1）=f（7）即可．

解答： 解：∵函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（x+6）=0成立，
∴f（x）=f（12+x），
∴f（x）的周期为12，
∵y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，
∴f（x）的图象关于点（0，0）对称，
∴f（-x）=-f（x），
∵f（2015）=f（-1），
∵f（7）=4，
∴f（-1）=f（7）=4
故答案为：4

点评：本题考查了抽象函数的性质，运用周期性，对称性求解函数值，属于中档题，关键是恒等变形．