Question

20．已知函数f（x）=（sinx+cosx）cosx，则下列说法正确的为（　　）

• A． 函数f（x）的最小正周期为2π
• B． f（x）在[$\frac{5π}{8}$，$\frac{9π}{8}$]单调递减
• C． f（x）的图象关于直线x=-$\frac{π}{6}$对称
• D． 将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{8}$，再向下平移$\frac{1}{2}$个单位长度后会得到一个奇函数的图象

Answer 1

分析 化函数f（x）为正弦型函数，再判断选项中的命题是否正确．

解答 解：函数f（x）=（sinx+cosx）cosx
=sinxcosx+cos²x
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x）+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{ω}$=π，∴A错误；
x∈[$\frac{5π}{8}$，$\frac{9π}{8}$]时，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{3π}{2}$，$\frac{5π}{2}$]，
f（x）是单调递增函数，∴B错误；
当x=-$\frac{π}{6}$时，f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（-$\frac{π}{12}$）+$\frac{1}{2}$，
∴x=-$\frac{π}{6}$不是f（x）的对称轴，C错误；
将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{8}$，得y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2[（x-$\frac{π}{8}$）+$\frac{π}{4}$]+$\frac{1}{2}$的图象，
再向下平移$\frac{1}{2}$个单位长度得y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x的图象，它是奇函数，D正确．
故选：D．

点评 本题考查了命题真假的判断问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．