Question

11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=$\frac{π}{3}$，若$\overrightarrow{m}$=（c-$\sqrt{6}$，a-b），$\overrightarrow{n}$=（a-b，c+$\sqrt{6}$），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，则△ABC的面积为（　　）

• A． 3
• B． $\frac{9\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• D． 3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 $\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，可得（a-b）²=$（c-\sqrt{6}）$（c+$\sqrt{6}$），化简利用余弦定理可得cos$\frac{π}{3}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，解得ab．即可得出三角形面积．

解答 解：∵$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，∴（a-b）²=$（c-\sqrt{6}）$（c+$\sqrt{6}$），化为：a²+b²-c²=2ab-6．
∴cos$\frac{π}{3}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{2ab-6}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，解得ab=6．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}ab$sinC=$\frac{1}{2}×6×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了向量共线定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．