Question

12．已知函数y=xe^x+x²+2x+a恰有两个不同的零点，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{e}$+1]
• B． （-∞，$\frac{1}{e}$+1）
• C． （$\frac{1}{e}$+1，+∞）
• D． （$\frac{1}{e}$，+∞）

Answer 1

分析 利用函数的零点就是方程法根，转化求解函数g（x）的值域，然后推出a的范围即可．

解答 解：函数y=xe^x+x²+2x+a恰有两个不同的零点，
就是xe^x+x²+2x+a=0恰有两个不同的实数解，
设：g（x）=xe^x+x²+2x，
则g′（x）=e^x+xe^x+2x+2，
=（x+1）（e^x+2），
x＜-1，g′（x）＜0，函数是减函数，x＞-1，g′（x）＞0，函数是增函数，
函数的最小值为：g（-1）=-1-$\frac{1}{e}$，
则a＜1+$\frac{1}{e}$．
函数y=xe^x+x²+2x+a恰有两个不同的零点，则实数a的取值范围为：（-∞，$\frac{1}{e}$+1）．
故选：B．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．