Question

10．某市在对高三学生的4月理科数学调研测试的数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布X～N（110，144），现从甲校100分以上的200份试卷中用系统抽样的方法抽取了20份试卷来分析，统计如下：

试卷编号	n1	n2	n3	n4	n5	n6	n7	n8	n9	n10
试卷得分	109	118	112	114	126	128	127	124	126	120
试卷编号	n11	n12	n13	n14	n15	n16	n17	n18	n19	n20
试卷得分	135	138	135	137	135	139	142	144	148	150

（注：表中试卷编号n₁＜n₂＜28＜n₄＜n₅＜…＜n₂₀）

（1）列出表中试卷得分为126分的试卷编号（写出具体数据）；
（2）该市又从乙校中也用系统抽样的方法抽取了20份试卷，将甲乙两校这40份试卷的得分制作了茎叶图（如图），试通过茎叶图比较两校学生成绩的平均分及分散程度（均不要求计算出具体值，给出结论即可）；
（3）在第（2）问的前提下，从甲乙两校这40名学生中，从成绩在140分以上（含140分）的学生中任意抽取3人，该3人在全市前15名的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望．
（附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ-σ＜X＜μ+σ）=68.3%，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=95.4%，P（μ-3σ＜X＜μ+3σ）=99.7%）

Answer 1

分析 （1）根据分层抽样的抽取编号为等差数列可知n₅和n₉的值；
（2）根据茎叶图的数据集中程度判断均值和方差；
（3）根据正态分布概率可得146分以上才能进入前15名，利用超几何分布概率公式得出分布列，从而可求出数学期望．

解答 解：（1）126分的试卷编号分别为48，88．
（2）通过茎叶图可知：甲校学生成绩的平均分高于乙校学生成绩的平均分，甲校学生成绩比较集中，乙校学生成绩比较分散．
（3）∵$\frac{15}{10000}=0.0015$，根据正态分布可知：P（74＜X＜146）=99.7%，
∴$P（X≥146）=\frac{1-99.7%}{2}=0.0015$，即前15名的成绩全部在146分以上（含146分）．
根据茎叶图可知这40人中成绩在146分以上（含146分）的有3人，而成绩在140分以上（含140分）的有8人．
∴ξ的取值为0，1，2，3．
$P（ξ=0）=\frac{C_5^3}{C_8^3}=\frac{5}{28}$，$P（ξ=1）=\frac{C_5^2•C_3^1}{C_8^3}=\frac{15}{28}$，$P（ξ=2）=\frac{C_5^1•C_3^2}{C_8^3}=\frac{15}{56}$，$P（ξ=3）=\frac{C_3^3}{C_8^3}=\frac{1}{56}$，
所以ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{5}{28}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{1}{56}$

因此$E（ξ）=0×\frac{5}{28}+1×\frac{15}{28}+2×\frac{15}{56}+3×\frac{1}{56}=\frac{9}{8}$．

点评 本题考查了分层抽样原理，茎叶图，随机变量的分布列，属于中档题．