Question

8．已知f（x）=2^5-x，g（x）=x+t，设h（x）=max{f（x），g（x）}．若当x∈N⁺时，恒有h（5）≤h（x），则实数t的取值范围是[-5，-3]．

Answer 1

分析 作出f（x）=2^5-x，g（x）=x+t的图象，讨论交点的横坐标x₀，当5≤x₀≤6，4≤x₀≤5时，有1≤6+t，2^5-4≥5+t，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：作出f（x）=2^5-x，g（x）=x+t的图象，
设交点的横坐标为：x₀，
由当x∈N⁺时，恒有h（5）≤h（x），
可得x＜x₀时，h（x）=2^5-x，
x＞x₀时，h（x）=x+t，
可得5≤x₀≤6，即有h（5）=2⁰=1，
由1≤6+t解得t≥-5；
可得4≤x₀≤5，即有h（5）=5+t，
由2^5-4≥5+t解得t≤-3，
可得-5≤t≤-3，
则t的取值范围是[-5，-3]．
故答案为：[-5，-3]．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查函数的最值的几何意义，运用数形结合的思想方法是解题的关键，属于中档题．