Question

6．高为$\sqrt{2}$的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$．．

Answer 1

分析 由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为 $\sqrt{2}$，四棱锥的高为 $\sqrt{2}$，推出高就是四棱锥的一条侧棱，最长的侧棱就是球的直径，然后利用勾股定理求出底面ABCD的中心与顶点S之间的距离．

解答 解：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为$\sqrt{2}$，四棱锥的高为$\sqrt{2}$，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，球的直径为2，所以四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径，所以底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为：$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$
故答案为：$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查球的内接多面体的知识，能够正确推出四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径是本题的关键，考查逻辑推理能力，计算能力．