Question

5．已知动点P（x，y）到定点A（2，0）的距离与到定直线l：x=-2的距离相等．
（Ⅰ） 求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ） 已知点B（-3，0），设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 根据抛物线的定义和题设中的条件可知点P是以F（2，0）为焦点，以x=-2为准线的抛物线，焦点到准线的距离p=4，进而求得抛物线方程．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由题意，直线PQ的方程代入化简，利用角平分线的性质可得k_PB=-k_QB，可化为：-16tm+（3+m）8t=0，所以：m=3，l：x=ty+3，即可得到定点．

解答 解：（Ⅰ）设动圆圆心P（x，y），则由抛物线定义易得：点P是以F（2，0）为焦点，以x=-2为准线的抛物线，
动圆圆心的轨迹方程为：y²=8x
（Ⅱ） 设两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），设不垂直于x轴的直线：l：x=ty+m（t≠0），
则$\left\{{\begin{array}{l}{x=ty+m}\\{{y^2}=8x}\end{array}}\right.$有：y²-8ty-8m=0，所以：y₁+y₂=8t，y₁y₂=-8m
因为x轴是∠PBQ的角平分线，
所以：k_BP+k_BQ=0，即：$\frac{y_1}{{{x_1}+3}}+\frac{y_2}{{{x_2}+3}}=0$，即：2ty₁y₂+（m+3）（y₁+y₂）=0
则：-16tm+（3+m）8t=0，
所以：m=3，l：x=ty+3，
所以直线l过定点（3，0）．

点评 本题综合考查了抛物线的定义与标准方程、直线与抛物线相交问题、直线方程及过定点问题、斜率计算公式等基础知识，考查了推理能力、数形结合的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力，属于中档题．