Question

已知数列{a_n}，定义其平均数是V_n=

a1+a2+…+an

n

，n∈N^*．
（Ⅰ）若数列{a_n}的平均数V_n=2n+1，求a_n；
（Ⅱ）若数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，其平均数为V_n，求证：

1

V1

+

1

V2

+…+

1

Vn

＜4．（提示

n

2n-1

＜

n

2n-1

）

Answer 1

考点：基本不等式,等比数列的性质

专题：新定义,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由V_n=

a1+a2+…+an

n

，得

a1+a2+…+an

n

=2n+1，变形得a₁+a₂+…+a_n=2n²+n，据此可求a_n；
（Ⅱ）由等比数列的前n项和公式及平均数的定义可得V_n=

2n-1

n

，从而得

1

Vn

=

n

2n-1

＜

n

2n-1

，于是

1

V1

+

1

V2

+…+

1

Vn

＜1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，令S_n=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，利用错位相减法可求得S_n，进而可得结论；

解答： 解：（Ⅰ）因为V_n=

a1+a2+…+an

n

，
所以

a1+a2+…+an

n

=2n+1．
变形得 a1+a2+…+an=2n2+n，①
当n≥2时有  a1+a2+…+an-1=2（n-1）2+（n-1）②，
①-②得a_n=4n-1（n≥2）．
又当n=1时，V₁=a₁=2×1+1=3，
适合a_n=4n-1．
故a_n=4n-1（n∈N^*）．
（Ⅱ）数列{a_n}的前n项和：a₁+a₂+…+a_n=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1，
∴V_n=

2n-1

n

，

1

Vn

=

n

2n-1

＜

n

2n-1

，
∴

1

V1

+

1

V2

+…+

1

Vn

＜1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，
令S_n=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

①，则

1

2

Sn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

②，
①-②，得

1

2

Sn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-

n

2n

=2[1-(

1

2

)n]-

n

2n

，
∴S_n=4-

2+n

2n-1

，
∴

1

V1

+

1

V2

+…+

1

Vn

＜4-

2+n

2n-1

＜4．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和公式的应用．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．