Question

12．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是棱长为2的菱形，∠DAB=$\frac{π}{3}$，侧面PAD为等边三角形，PB=$\sqrt{3}$
（Ⅰ）证明：AD⊥PB；
（Ⅱ）求二面角A-PB-C平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD中点E，连接PE，BE，推导出PE⊥AD，BE⊥AD，从而AD⊥平面BPE，AD⊥PB．
（Ⅱ）以E为坐标原点，EA，EB分别为x，y轴，过E作直线垂直于底平面为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PB-C平面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）取AD中点E，连接PE，BE，
∵△ABD，△APD为等边三角形
∴PE⊥AD，BE⊥AD，
∵PE∩BE=E，∴AD⊥平面BPE，
∵PB?平面BPE，∴AD⊥PB．
（Ⅱ）以E为坐标原点，EA，EB分别为x，y轴，
过E作直线垂直于底平面为z轴建立空间直角坐标系，
则E（0，0，0），A（1，0，0），D（-1，0，0），
C（-2，$\sqrt{3}$，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），P（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
设平面PBC法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\frac{\sqrt{3}}{2}y-\frac{3}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=2x=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}$，1），
设平面ABP法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=\frac{\sqrt{3}}{2}b-\frac{3}{2}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CE}=-a+\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，取a=3，得$\overrightarrow{m}$=（3，$\sqrt{3}$，1），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，而二面角所成的角为钝角，
∴二面角A-PB-C平面角的余弦值为-$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．