Question

17．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$cos²x+sinxcosx．
（Ⅰ）求f（$\frac{π}{6}$）的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）若α∈（0，π），f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{1}{4}$+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求sin（α+$\frac{7π}{12}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，从而求得f（$\frac{π}{6}$）的值．
（Ⅱ）根据f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性，求得函数的单调增区间．
（Ⅲ）根据α∈（0，π），以及三角函数在各个象限中的符号，求得cos（α+$\frac{π}{3}$）的值，利用两角和的正弦公式可得sin（α+$\frac{7π}{12}$）的值．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=$\sqrt{3}$cos²x+sinxcosx=$\frac{\sqrt{3}}{2}（1+cos2x）$+$\frac{1}{2}$sin2x=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴f（$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{2π}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
（Ⅱ）∵f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得 kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，
可得函数的增区间为：$[kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}]，k∈Z$．
（Ⅲ）∵$f（\frac{α}{2}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}+sin（α+\frac{π}{3}）=\frac{1}{4}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴$sin（α+\frac{π}{3}）=\frac{1}{4}$，因为α∈（0，π），∴$α+\frac{π}{3}∈（\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}）$．
若$α+\frac{π}{3}∈（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）$，则$sin（α+\frac{π}{3}）＞\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，矛盾，又$sin（α+\frac{π}{3}）=\frac{1}{4}$，所以$α+\frac{π}{3}∈（\frac{π}{2}，π）$，$cos（α+\frac{π}{3}）=-\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
∴$sin（α+\frac{7π}{12}）=sin（α+\frac{π}{3}+\frac{π}{4}）$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}[sin（α+\frac{π}{3}）+cos（α+\frac{π}{3}）]=\frac{{\sqrt{2}-\sqrt{30}}}{8}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，以及三角函数在各个象限中的符号，两角和的正弦公式，属于中档题．