Question

4．求下列函数的定义域与值域：
（1）y=$\sqrt{1-（\frac{1}{2}）^{x}}$；
（2）y=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$（a＞0，且a≠1）．

Answer 1

分析 根据函数成立的条件求函数的定义域，根据指数函数的性质结合根式和分式的性质进行求解即可．

解答 解：（1）要使函数有意义，则1-（$\frac{1}{2}$）^x≥0得（$\frac{1}{2}$）^x≤1，得x≥0，即函数的定义域为[0，+∞），
∵0≤1-（$\frac{1}{2}$）^x＜1，∴0≤$\sqrt{1-（\frac{1}{2}）^{x}}$＜1，即函数值域为[0，1），
（2）∵1+a^x＞1恒成立，∴函数的定义域为R，
∵y=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$=$\frac{{a}^{x}+1-2}{{a}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$，
∵1+a^x＞1，∴0＜$\frac{1}{{a}^{x}+1}$＜1，则0＜$\frac{2}{{a}^{x}+1}$＜2，则-2＜-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$＜0，
-1＜1-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$＜1，即函数的值域为（-1，1）．

点评 本题主要考查函数定义域和值域的求解，根据根式函数和分式函数的性质进行转化是解决本题的关键．