Question

2．已知函数f（x）=log₃（3+x）+log₃（3-x）．
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的性质，真数大于0，求解其定义域，根据定义域范围再求解值域．
（2）利用定义判断奇偶性即可．

解答 解：（1）由题意：函数f（x）=log₃（3+x）+log₃（3-x）．
其定义域满足：$\left\{\begin{array}{l}{3-x＞0}\\{3+x＞0}\end{array}\right.$，解得：-3＜x＜3．
所以函数f（x）=log₃（3+x）+log₃（3-x）的定义域为（-3，3）．
函数f（x）=log₃（3+x）+log₃（3-x）=f（x）=log₃（9-x²）
令u=9-x²（u＞0）其在x=0时取得最大值为9，
故得函数f（x）最大值为2，
所以函数f（x）=log₃（3+x）+log₃（3-x）的定义域为（-∞，2]．
（2）由（1）可知定义域关于原点对称．
f（-x）=log₃（3-x）+log₃（3+x）=f（x）
所以原函数为偶函数．

点评 本题考查了对数函数的定义域和值域的求法以及奇偶性的判断问题．属于基础题．