Question

1．设函数f（x）=log₂（4x）•log₂（2x）的定义域为$[\frac{1}{4}，4]$．
（Ⅰ）若t=log₂x，求t的取值范围；
（Ⅱ）求y=f（x）的最大值与最小值，并求取得最值时对应的x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用对数函数的单调性，若t=log₂x，求t的取值范围；
（Ⅱ）利用对数的运算法则，结合配方法，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）∵t=log₂x，$\frac{1}{4}$≤x≤4，
∴log₂$\frac{1}{4}$≤t≤log₂4，
∴-2≤t≤2，即t的取值范围是[-2，2]
（Ⅱ）f（x）=log₂（4x）•log₂（2x）=（log₂4+log₂x）（log₂2+log₂x）
=（2+log₂x）（1+log₂x）=（2+t）（1+t）
=t²+3t+2=（t+$\frac{3}{2}$）2-$\frac{1}{4}$，
∵-2≤t≤2，
当x=4时，最大值为12；$x=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$时，最小值$-\frac{1}{4}$．

点评 本题考查对数函数的性质，考查对数的运算法则，配方法的运用，属于中档题．