Question

18．在坐标平面xOy内，点A（x，y）（不是原点）的“k-相好点”B是指：满足|OA|•|OB|=k（O为坐标原点）且在射线OA上的点，若点P₁，P₂，…P₂₀₁₇是直线y=-2x+10上的2017个不同的点，他们的“10-相好点”分别是${P_1}^/，{P_2}^/，…{P_{2017}}^/$
（1）若P₁（2，6），求${P_1}^/$的坐标；
（2）证明：点${P_1}^/，{P_2}^/，…{P_{2017}}^/$共圆，并求出圆的方程C；
（3）第（2）问中的圆C与x轴交于M，T两点（点M在点T的右侧），过点M作直线MP，MR且k_MP+k_MR=0，两直线与圆C的另外一个交点分别为P，R．直线PR的斜率是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）点${P_1}^/$在直线y=3x上，且在射线OP₁上，利用$|O{P_1}^/|=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，求${P_1}^/$的坐标；
（2）利用三角形相似，证明${P_1}^/$，${P_2}^/，{P_3}^/，…{P_{2017}}^/$都在以$O{Q_1}^/$为直径的圆上，即可求出圆的方程C；
（3）求出P，R的坐标，可得直线PR的斜率．

解答 解：（1）由题意：$|O{P_1}|=2\sqrt{10}$，由$|O{P_1}||O{P_1}^/|=10$
则$|O{P_1}^/|=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$
又点${P_1}^/$在直线y=3x上，且在射线OP₁上，设点${P_1}^/（x，3x）$

所以$\sqrt{{x^2}+9{x^2}}=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$则${P_1}^/（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$
证明：（2）过点O作OQ₁⊥直线y=-2x+10，垂足为Q₁，设Q₁的“10-相好点”为${Q_1}^/$
则$|O{Q_1}||O{Q_1}^/|=10$
又∵$|O{P_1}||O{P_1}^/|=10$
∴$|O{P_1}||O{P_1}^/|=|O{Q_1}||O{Q_1}^/|$即：$\frac{{|O{P_1}|}}{{|O{Q_1}|}}=\frac{{|O{Q_1}^/|}}{{|O{P_1}^/|}}$
又$∠{P_1}O{Q_1}=∠{Q_1}^/O{P_1}^/$，
∴$△O{P_1}{Q_1}相似△O{Q_1}^/{P_1}^/$，
∴$∠O{P_1}^/{Q_1}^/=∠O{Q_1}{P_1}={90^0}$
∴${P_1}^/$在以$O{Q_1}^/$为直径的圆上，
同理可证：${P_2}^/，{P_3}^/，…{P_{2017}}^/$都在以$O{Q_1}^/$为直径的圆上
所以点${P_1}^/，{P_2}^/，…{P_{2017}}^/$共圆
由题意$\left\{\begin{array}{l}y=-2x+10\\ y=\frac{1}{2}x\end{array}\right.$联立求解，得Q₁（4，2）
由于$|O{Q_1}||O{Q_1}^/|=10$且${Q_1}^/$在射线OQ₁上
所以${Q_1}^/（2，1）$
则圆C的方程为：${（x-1）^2}+{（y-\frac{1}{2}）^2}=\frac{5}{4}$
解：（3）由于题得M（2，0）
设直线MP的直线方程为：y=k（x-2），显然直线MR的直线方程为：y=-k（x-2）
则$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-2）\\{（x-1）^2}+{（y-\frac{1}{2}）^2}=\frac{5}{4}\end{array}\right.$可得：（k²+1）x²-（4k²+k+2）x+（4k²+2k）=0，
由韦达定理：${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}+k+2}}{{{k^2}+1}}$
因为已知一个根为2，则：${x_P}=\frac{{2{k^2}+k}}{{{k^2}+1}}$
所以点$P（\frac{{2{k^2}+k}}{{{k^2}+1}}，\frac{{{k^2}-2k}}{{{k^2}+1}}）$同理点$R（\frac{{2{k^2}-k}}{{{k^2}+1}}，\frac{{{k^2}+2k}}{{{k^2}+1}}）$
所以${k_{PR}}=\frac{{（{k^2}+2k）-（{k^2}-2k）}}{{（2{k^2}-k）-（2{k^2}+k）}}=-2$所以：直线PR的斜率为定值-2

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，难度大．