Question

11．△ABC的顶点A（0，0），B（1，2），（3，-1），则该三角形面积为$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 法1：设出BC解析式，令y=0求出x的值，确定出D坐标，得到OD的长，三角形ABC面积=三角形ABD面积+三角形ACD面积，求出即可；
法2：利用两点间的距离公式求出三边长，再利用余弦定理求出cos∠BAC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin∠BAC的值，根据三角形面积公式即可求出．

解答 解：法1：设直线BC解析式为：y-2=$\frac{-1-2}{3-1}$（x-1），即3x+2y-7=0，
令y=0，得到x=$\frac{7}{3}$，即D（$\frac{7}{3}$，0），
∴S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD=$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{3}$×2+$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{3}$×1=$\frac{7}{2}$；
法2：∵△ABC的顶点A（0，0），B（1，2），（3，-1），
∴AB=$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{10}$，BC=$\sqrt{（1-3）^{2}+（2+1）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴cos∠BAC=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AC}$=$\frac{5+10-13}{10\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
∴sin∠BAC=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•ACsin∠BAC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\sqrt{10}$×$\frac{7\sqrt{2}}{10}$=$\frac{7}{2}$．
故答案为：$\frac{7}{2}$

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及两点间距离公式的应用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．