Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-p，其中p是不为零的常数．
（1）证明：数列{a_n}是等比数列
（2）当p=2时，若数列{b_n}满足b_n+1=b_n+a_n（n∈N^*），b₁=2，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a_n=2a_n-1，a₁=p，由此能证明{a_n}是首项为p公比为2的等比数列．
（2）因为当p=2时，a₁=2，则a_n=2ⁿ，由b_n+1=b_n+a_n（n∈N^*），得b_n+1-b_n=2ⁿ，由累加法得b_n=2ⁿ，由此能求出数列{b_n}的前n项和．

解答： （1）证明：因为S_n=2a_n-p，
则S_n-1=2a_n-1-p（n≥2），
所以当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
整理得a_n=2a_n-1，
由S_n=2a_n-p，令n=1，得a₁=2a₁-p，
解得a₁=p，
所以{a_n}是首项为p公比为2的等比数列．
（2）解：因为当p=2时，a₁=2，则a_n=2ⁿ，
由b_n+1=b_n+a_n（n∈N^*），得b_n+1-b_n=2ⁿ，
当n≥2时，由累加得
b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=2+2+2²+…+2^n-1
=2+

2(1-2n-1)

1-2

=2ⁿ，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=2+2²+…+2ⁿ=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．