Question

若非零函数f（x）满足f（x）=f（x-y）•f（y），且x＜0时，f（x）＞1，当f（6）=

1

9

时，
（1）求f（3）的值，并证明f（x）＞0．
（2）判断函数f（x）的单调性并证明．
（3）若求使f（3sinx+1）•f（3-sinx）≤

1

3

成立的x的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据抽象函数，利用赋值法证明f（x）＞0； 再令x=6，y=3，f（3）=

1

3

（2）根据函数单调性的定义证明f（x）为R上的减函数；
（3）利用函数单调性的性质，解不等式，以及三角函数的性质即可求出x的范围．

解答： 解：令y=

x

2

，
则f（x）=f（x-

x

2

）f（

x

2

）=f²（

x

2

），
∵f（x）为非零函数
∴f（x）＞0．
再令x=6，y=3，
则f（6）=f（6-3）•f（3）=f²（3）=

1

9

，
∴f（3）=

1

3

（2）令x₁＜x₂且x₁，x₂∈R，
∵x＜0时，f（x）＞1，
∴f（x₁-x₂）＞1，
∴f（x₁）=f（x₁-x₂）•f（x₂）＞f（x₂）
∴f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）为R上的减函数．
（3）∵f（3sinx+1）•f（3-sinx）=f（2sinx+4）≤f（3），
∴2sinx+4≥3，
∴sinx≥-

1

2

∴x∈[2kπ-

π

6

，2kπ+

7π

6

]，k∈z

点评：本题主要考查抽象函数的应用，以及函数单调性的定义，以及利用函数的单调性解不等式，考查学生的运算能力．