Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形A₁ACC₁为菱形，∠ACB=90°，AC=BC=2，点D为AC的中点，A₁D⊥平面ABC．
（Ⅰ）求证：A₁B⊥AC₁；
（Ⅱ）设直线AC₁与A₁D分别交于点M，求三棱锥C₁-MBC的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）通过证明BC⊥AC₁，A₁C⊥AC₁，证出AC₁⊥平面A₁BC，即证AC₁⊥A₁B；
（Ⅱ）利用V三棱锥C1-ABC与V_{三棱锥M-ABC}的关系，求出V三棱锥C1-MBC的大小．

解答： 解：（Ⅰ）∵A₁D⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴A₁D⊥BC；
又∵BC⊥AC，且A₁D∩AC=D，
∴BC⊥平面A₁ACC₁，
∴BC⊥AC₁；①
又∵四边形A₁ACC₁为菱形，
∴A₁C⊥AC₁；②
由①②得，AC₁⊥平面A₁BC，
且A₁B?平面A₁BC，
∴AC₁⊥A₁B；
（Ⅱ）∵D是线段AC的中点，∴

AD

A1C1

=

1

2

，
∴

AM

MC1

=

1

2

，即

C1M

C1A

=

2

3

；
∴V三棱锥C1-MBC=V三棱锥C1-ABC-V_{三棱锥M-ABC}
=3V_{三棱锥M-ABC}-V_{三棱锥M-ABC}=2V_{三棱锥M-ABC}
=2×

1

3

×S_△ABC•MD
又S△ABC=

1

2

×2×2=2，
MD=

1

3

×A1D=

1

3

×

3

=

3

3

；
∴V三棱锥C1-MBC=2×

1

3

×2×

3

3

=

4

9

3

．

点评：本题考查了空间中的垂直关系的应用问题，也考查了计算空间几何体的体积的问题，是中档题．