Question

20．设$f（x）=x-\frac{a-1}{x}-alnx$（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点$（\frac{1}{2}，f（{\frac{1}{2}}））$处的切线方程；
（Ⅱ）当a＜1时，在$[\frac{1}{e}，e]$内是否存在一实数x₀，使f（x₀）＞e-1成立？

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求出切线的斜率，从而求出切线方程即可；
（Ⅱ）只需证明$x∈[\frac{1}{e}，{e}]$时，f（x）_max＞e-1即可，根据函数的单调性求出f（x）的最大值，从而判断结论即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x-lnx，${f^'}（x）=1-\frac{1}{x}$，．…（2分）
所以曲线y=f（x）在点$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}+ln2）$处的切线的斜率为${f^'}（\frac{1}{2}）=1-\frac{1}{{\frac{1}{2}}}=-1$．…（4分）
所求切线方程为$y-（\frac{1}{2}+ln2）=-（x-\frac{1}{2}）$，即x+y-ln2-1=0．…（6分）
（Ⅱ）假设当a＜1时，在$[\frac{1}{e}，{e}]$存在一点x₀，使f（x₀）＞e-1成立，
则只需证明$x∈[\frac{1}{e}，{e}]$时，f（x）_max＞e-1即可．…（8分）
$f'（x）=1+\frac{a-1}{x^2}-\frac{a}{x}=\frac{{{x^2}-ax+（a-1）}}{x^2}=\frac{（x-1）[x-（a-1）]}{x^2}（x＞0）$，
令f′（x）=0得，x₁=1，x₂=a-1，当a＜1时，a-1＜0，
当$x∈（{\frac{1}{e}，1}）$时，f′（x）＜0；当x∈（1，e）时，f′（x）＞0．
函数f（x）在$[\frac{1}{e}，1]$上递减，在[1，e]上递增，…（10分）
∴$f{（x）_{max}}=max\{f（\frac{1}{e}），f（{e}）\}$．
于是，只需证明f（ e）＞e-1或$f（\frac{1}{e}）＞{e}-1$即可．…（12分）
∵$f（{e}）-（{e}-1）={e}-\frac{a-1}{e}-a-（{e}-1）$=$\frac{{（{e}+1）（1-a）}}{e}$＞0
∴f（ e）＞e-1成立…（14分）
所以假设正确，即当a＜1时，在$x∈[\frac{1}{e}，{e}]$上至少存在一点x₀，使f（x₀）＞e-1成立．…（15分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．