Question

等差数列{a_n}满足：a₂=5，a₄+a₁₀=30的前n项和为S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）数列{b_n}满足b_n（a

3 n

-1）=8（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜2．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项与公差，由此能求出a_n及S_n．
（2）由已知得an2-1=4n（n+1），从而b_n=

8

an2-1

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），由此利用裂项法能证明T_n＜2．

解答： （1）解：设等差数列{a_n}公差为d，
由a₂=5，a₄+a₁₀=30，
∴

a1+d=5 2a1+12d=30

，
解得d=2，a₁=3，
∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1，
S_n=3n+

n(n+1)

2

×3=n²+2n．
（2）证明：∵a_n=2n+1，∴an2-1=4n（n+1），
∴b_n=

8

an2-1

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=2（1-

1

n+1

）
=2-

2

n+1

＜2．
∴T_n＜2．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．