Question

若{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）均在函数y=

3

2

x²-

1

2

x的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）设b_n=

3

anan+1

，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得T_n＜

m

20

对所有n∈N⁺都成立的最小整数m．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由点（n，S_n）均在函数y=

3

2

x²-

1

2

x的图象上，得S_n=

3

2

n²-

1

2

n，由a_n=S_n-S_n-1可得通项公式，须验证n=1时，a_n也成立．
（2）由（1）知，b_n=

3

anan+1

=

3

(3n-2)(3n+1)

=

1

3n-2

-

1

3n+1

，再求和，使T_n＜

m

20

成立的m，必须且仅须满足1≤

m

20

，即可得出结论．

解答： 解：（1）依题意，点（n，S_n）均在函数y=

3

2

x²-

1

2

x的图象上，得S_n=

3

2

n²-

1

2

n，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（

3

2

n²-

1

2

n）-[

3

2

（n-1）²-

1

2

（n-1）]=3n-2 ①；
当n=1时，a₁=S₁=1，适合①式，所以a_n=3n-2（n∈N^*）
（2）由（1）知，b_n=

3

anan+1

=

3

(3n-2)(3n+1)

=

1

3n-2

-

1

3n+1

；
故T_n=1-

1

4

+

1

4

-

1

7

+…+

1

3n-2

-

1

3n+1

=1-

1

3n+1

因此，使T_n＜

m

20

成立的m，必须且仅须满足1≤

m

20

，即m≥20；
所以，满足要求的最小正整数m为20．

点评：本题考查了数列与函数的综合应用，用裂项法求数列前n项和以及数列与不等式综合应用问题，属于中档题．