Question

已知函数f（x）=x²ln（ax）（a＞0）．
（1）a=e时，求f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若f′（x）≤x²对任意的x＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a=1时，设函数g（x）=

f(x)

x

，若x₁，x₂∈（

1

e

，1），x₁+x₂＜1，求证：x₁•x₂＜（x₁+x₂）⁴．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，可得切线的斜率，求出切点，即可求出f（x）在x=1处的切线方程；
（2）先求出导数：f'（x）=2xln（ax）+x欲使得f'（x）=2xln（ax）+x≤x²，即2lnax+1≤x在x＞0上恒成立，设u（x）=2lnax+1-x再利用导数研究此函数的最大值，即可求得实数a的取值范围；
（3）当a=1时，g（x）=xlnx，g′（x）=1+lnx=0，利用导数得到g（x）在（

1

e

，+∞）上g（x）是增函数，（0，

1

e

）上是减函数，从而得出lnx1＜

x1+x2

x1

ln（x₁+x₂），同理lnx₂＜

x1+x2

x2

ln（x₁+x₂），两式相加化简即可证得结论．

解答： 解：（1）a=e时，f（x）=x²ln（ex），则f′（x）=2xln（ex）+x，
∴f′（1）=3，
∵f（1）=1，
∴f（x）在x=1处的切线方程为y-1=3（x-1），即3x-y-2=0；
（2）f'（x）=2xln（ax）+x（1分）f'（x）=2xln（ax）+x≤x²，即2ln（ax）+1≤x在x＞0上恒成立
设u（x）=2ln（ax）+1-x，u′（x）=

2

x

-1=0，
x＞2时，单调减，x＜2单调增，所以x=2时，u（x）有最大值u（2）
u（2）≤0，2ln2a+1≤2，所以0＜a≤

e

2

（3）当a=1时，g（x）=xlnx，g′（x）=1+lnx=0，x=

1

e

，
所以在（

1

e

，+∞）上g（x）是增函数，（0，

1

e

）上是减函数
因为

1

e

＜x₁＜x₁+x₂＜1，所以g（x₁+x₂）=（x₁+x₂）ln（x₁+x₂）＞g（x₁）=x₁lnx₁
即lnx1＜

x1+x2

x1

ln（x₁+x₂）
同理lnx₂＜

x1+x2

x2

ln（x₁+x₂）
所以lnx₁+lnx₂＜（2+

x1

x2

+

x2

x1

）ln（x₁+x₂）
又因为2+

x1

x2

+

x2

x1

≥4，当且仅当“x₁=x₂”时，取等号
又x₁，x₂∈（

1

e

，1），x₁+x₂＜1，ln（x₁+x₂）＜0
所以（2+

x1

x2

+

x2

x1

）ln（x₁+x₂）≤4ln（x₁+x₂）
所以lnx₁+lnx₂＜4ln（x₁+x₂）
所以：x₁x₂＜（x₁+x₂）⁴．

点评：本小题主要考查导数的几何意义，考查函数单调性的应用、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．