Question

如图，在△ABC中，BC=1，AB=2，∠ABC=60°，四边形ACDE为矩形，且平面ACDE⊥平面ABC，DC=1．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACDE；
（Ⅱ）若点M为线段ED的中点，求平面MAB与平面BCD所成锐二面角的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由在△ABC中，BC=1，AB=2，∠ABC=60°，结合余弦定理和勾股定理，可得BC⊥AC，结合平面ACDE⊥平面ABC和面面垂直的性质定理可得：BC⊥平面ACDE；
（II）（综合几何法）延长CD、AM交于一点F，连FB，过C作CG⊥FB于点G，连AG．由于BC⊥AC，DC⊥AC，故AC⊥平面BCF，于是AC⊥FB，又CG⊥FB，故AG⊥FB，于是∠CGA为所求角，解三角形可得答案；
（向量法）如图平面直角坐标系，设平面MAB与平面BCD所成锐二面角为θ，分别求出两个平面的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．

解答： 证明：（I）由BC=1，AB=2，∠ABC=60°，
由余弦定理可得：AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC=4+1-2=3=AB²-BC²，
∴BC⊥AC，
又平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC=AC，BC?平面ABC，
∴BC⊥平面ACDE；

解：（II）（综合几何法）延长CD、AM交于一点F，连FB，过C作CG⊥FB于点G，连AG．
由于BC⊥AC，DC⊥AC，故AC⊥平面BCF，
于是AC⊥FB，又CG⊥FB，故AG⊥FB，于是∠CGA为所求角，
由M是AF的中点，于是CF=2，故CG=

BC•CF

BF

=

2

5

，

于是在△ACG中，tan∠CGA=

AC

CG

=

15

2

（向量法）如图建立平面直角坐标系，设所求角为θ，
则C（0，0，0），M(

3

2

，0，1)，A(

3

，0，0)，B（0，1，0），

AB

=(-

3

，1，0)，

AM

=(-

3

2

，0，1)，

设平面AMB的法向量

n1

=(x1，y1，z1)，于是

n1

•

AB

=0，

n1

•

AM

=0，
即-

3

x1+y1=0，-

3

2

x1+z1=0，令x₁=1，则y1=

3

，z1=

3

2

，于是

n1

=(1，

3

，

3

2

)．
易得平面DCB的法向量

n2

=(1，0，0)，
于是cosθ=

n1 • n2

| n1 |• |n2 |

=

2

19

，于是tanθ═

15

2

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判断，面面垂直的性质，二面的平面角及求法，是空间线面关系和线面夹角的综合应用，难度中档．