Question

命题p：正实数a，b满足a²+b²=1；命题q：正实数a，b满足a³+b³+1=m（a+b+1）³，若“p∧q”为真命题，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：函数的性质及应用,推理和证明

分析：根据命题p，将a与b进行三角换元，通过命题q把m利用三角函数表示出来，求m关于t函数的值域即可．

解答： 解：∵正实数a，b满足a²+b²=1，∴令a=cosθ，b=sinθ，θ∈（0，

π

2

），t=cosθ+sinθ=

2

sin（θ+

π

4

）
则t∈（1，

2

]，sinθcosθ=

t2-1

2

．由a³+b³+1=m（a+b+1）³，得

1

m

=

(a+b+1)3

a3+b3+1

=

(sinθ+cosθ+1)3

sin3θ+cos3θ+1

=

(t+1)3

t(1- t2-1 2 )+1

=-

2(t+1)3

t3-3t-2

=-

2(t+1)

t-2

，∴m=m（t）=-

1

2

+

3

2t+2

在（1，

2

]上是递减函数，
∴m＜m（1）=

1

4

，
m≥m（

2

）=

3 2 -4

2

，故m的取值范围是[

3 2 -4

2

，

1

4

）

故答案为：[

3 2 -4

2

，

1

4

）

点评：本题以复合命题的真假判断为载体，考查了函数的值域问题，运算复杂，计算量大，属于高难度题目．