Question

已知F（x）=f（x）-g（x），其中f（x）=2log_a（4-x）（a＞0且a≠1），并且当且仅当点P（x₀，y₀）在f（x）的图象上时，点Q（-

1

5

x₀，

1

2

y₀）在y=g（x）的图象上．
（1）求y=g（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式F（x）≥0．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，令-

1

5

x₀=x，

1

2

y₀=y，则x₀=-5x，y₀=2y，代入f（x）求g（x）；
（2）化简F（x）=2log_a（4-x）-log_a（4+5x）≥0，利用函数的定义域及对数函数的单调性求解不等式．

解答： 解：（1）由题意，令-

1

5

x₀=x，

1

2

y₀=y，
则x₀=-5x，y₀=2y，
则2y=2log_a（4+5x），
则g（x）=log_a（4+5x），
（2）F（x）=f（x）-g（x）=2log_a（4-x）-log_a（4+5x）≥0，
即2log_a（4-x）≥log_a（4+5x），
则当a＞1时，

4-x＞0 4+5x＞0 (4-x)2≥4+5x

，
解得，-

4

5

＜x≤1，
当0＜a＜1时，

4-x＞0 4+5x＞0 (4-x)2≤4+5x

，
解得，1≤x＜4．

点评：本题考查了函数图象的对称性的应用及对数函数单调性的应用，属于中档题．