题目内容
已知函数f（x）与g（x）均是定义域为R的增函数，求证：利用单调性的定义域证明f（x）+g（x）在R上为增函数．
考点：函数单调性的判断与证明
专题：函数的性质及应用
分析：根据单调性的定义，设x1，x2∈R，且x1＜x2，并设F（x）=f（x）+g（x），由函数f（x）与g（x）均是定义域为R的增函便可得到f（x1）+g（x1）＜f（x2）+g（x2），所以F（x1）＜F（x2），这便证出了（x）+g（x）在R上为增函数．
解答：
证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，并设F（x）=f（x）+g（x）；
∵f（x），g（x）在R上是增函数；
∴f（x1）＜f（x2），g（x1）＜g（x2）；
∴f（x1）+g（x1）＜f（x2）+g（x2）；
即F（x1）＜F（x2）；
∴F（x）为R上的增函数；
即f（x）+g（x）在R上为增函数．
∵f（x），g（x）在R上是增函数；
∴f（x1）＜f（x2），g（x1）＜g（x2）；
∴f（x1）+g（x1）＜f（x2）+g（x2）；
即F（x1）＜F（x2）；
∴F（x）为R上的增函数；
即f（x）+g（x）在R上为增函数．
点评：考查增函数的定义，以及利用增函数的定义证明函数为增函数．
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