Question

已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，从该数列中抽取某些项：a₁，a₅，a₁₇，a_k1，a_k2…，a_kn组成等比数列．
（1）求公比；
（2）求数列{kn}的通项公式，求数列{

n(kn+1)

22n+1

}的最大值项．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等差数列和等比数列的公式即可求公比；
（2）先根据条件求出{kn}的通项公式，然后解不等式组即可得到结论．

解答： 解：（1）设{a_n}的首项为a₁，
∵a₁，a₅，a₁₇成等比数列，
∴（a₁+4d）²=a₁（a₁+16d）．
得a₁=2d，
∴公比q=

a5

a1

=

a1+4d

a1

=

6d

2d

=3．
（2）∵a_kn=a₁+（k_n-1）d，
又a_kn=a₁•3^n-1，
∴k_n=2•3^n-1-1．
∴

n(kn+1)

22n+1

=

n?(2?3n-1-1+1)

2?4n

=

n?(2?3n-1)

2?4n

=

n?3n

3?4n

．
若第n项最大，则满足：

n?3n 3?4n ≥ (n+1)?3n+1 3?4n+1 n?3n 3?4n ≥ (n-1)?3n-1 3?4n-1

，
即

n≥ 3(n+1) 4 3n 4 ≥n-1

，
∴

n≥3 n≤4

，
∴3≤n≤4，
即n=3或n=4时，最大．

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的应用，要求熟练掌握相应的通项公式．考查学生 的计算能力．