题目内容
如图，在平面直角坐标系xOy中，射线OA的方程为y=| 3 |
| 3 |
（1）求线段PQ的中点M的轨迹C方程；
（2）设R1、R2是曲线C上的两个动点，R1、R2到y轴的距离之和为1，求R1、R2到x轴的距离之积的最小值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程
专题：计算题,数形结合,转化思想
分析：（1）求出OA的方程，设出M（x，y），P（a，
a），Q（0，b），利用中点坐标公式，三角形的面积公式，消去a，b得点M的轨迹C的方程；
（2）设R1（x1，y1），R2（x2，y2），则x1+x2=1，令u=y1y2，化为含x1•x2的代数式设t=x1•x2（0＜t≤
），得到u关于t的函数，利用导数判断函数的单调性，由单调性求得u的最小值．
| 3 |
（2）设R1（x1，y1），R2（x2，y2），则x1+x2=1，令u=y1y2，化为含x1•x2的代数式设t=x1•x2（0＜t≤
| 1 |
| 4 |
解答：
解：（1）射线OA：y=
x（x＞0），
设M（x，y），P（a，
a），Q（0，b）（a＞0，b＞0），
则a=2x，
a+b=2y ①
又∵△POQ的面积为2
，
∴ab=4
②
联立①②消去a，b得点M的轨迹C的方程为：
x2-xy+
=0（x＞0，y＞0）；
（2）设R1（x1，y1），R2（x2，y2），则x1+x2=1，
令R1、R2到x轴的距离之积为u，
∴u=y1y2=
(x1+
)•
(x2+
)
=3(x1x2+
+
+
)=3(x1x2+
-2)．
令t=x1•x2，由x1+x2=1，得0＜t≤
，
∴有u=3（t+
-2），
当0＜t≤
时，u′=3-
＜0，
∴函数u=3（t+
-2）在上单调递减，
∴当t=
时，umin=3(
+
-2)=
．
∴R1、R2到x轴的距离之积的最小值为
．
| 3 |
设M（x，y），P（a，
| 3 |
则a=2x，
| 3 |
又∵△POQ的面积为2
| 3 |
∴ab=4
| 3 |
联立①②消去a，b得点M的轨迹C的方程为：
| 3 |
| 3 |
（2）设R1（x1，y1），R2（x2，y2），则x1+x2=1，
令R1、R2到x轴的距离之积为u，
∴u=y1y2=
| 3 |
| 1 |
| x1 |
| 3 |
| 1 |
| x2 |
=3(x1x2+
| 1 |
| x1x2 |
| x2 |
| x1 |
| x1 |
| x2 |
| 2 |
| x1x2 |
令t=x1•x2，由x1+x2=1，得0＜t≤
| 1 |
| 4 |
∴有u=3（t+
| 2 |
| t |
当0＜t≤
| 1 |
| 4 |
| 6 |
| t2 |
∴函数u=3（t+
| 2 |
| t |
∴当t=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 2 | ||
|
| 75 |
| 4 |
∴R1、R2到x轴的距离之积的最小值为
| 75 |
| 4 |
点评：本题考查了轨迹方程，利用了消参数的方法，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用导数研究函数的单调性和最值，是综合性较强的题目，属中高档题．
练习册系列答案
相关题目
-60°角是第（ ）象限角．
| A、一 | B、二 | C、三 | D、四 |
交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通； T∈[4，6）轻度拥堵； T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵，晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制直方图如图所示．