Question

已知函数f（x）=x²-6x+4lnx+a．
（1）求函数的单调区间；
（2）当a为何值时，方程f（x）=0有三个不同的实根．

Answer 1

考点：二次函数的性质,根的存在性及根的个数判断

专题：导数的综合应用

分析：（1）求f′（x），令f′（x）=0，可得到x=1，或2，通过判断导数f′（x）的符号即可找到f（x）的单调区间；
（2）容易判断出f（1）是f（x）的极大值，f（2）是f（x）的极小值，所以a需满足

f(1)＞0 f(2)＜0

．

解答： 解：（1）f′（x）=2x-6+

4

x

=

2(x2-3x+2)

x

；
∴0＜x＜1，或x＞2时，f′（x）＞0，1＜x＜2时，f′（x）＜0；
∴f（x）的单调增区间为（0，1]，[2，+∞），单调减区间为（1，2）．
（2）由（1）知f（1）是f（x）的极大值，f（2）是f（x）的极小值；
∴若f（x）=0有三个不同实根；
∴

f(1)=a-5＞0 f(2)=-8+4ln2+a＜0

；
∴5＜a＜8-4ln2；
即a∈（5，8-4ln2）时，方程f（x）=0有三个不同的实根．

点评：考查根据函数导数符号判断函数的单调性，找函数单调区间的方法，函数极值的概念以及求法．