Question

某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）甲和乙，系统甲和系统乙在任意时刻发生故障的概率分别为

1

5

和P，若在任意时刻至多有一个系统发生故障的概率为

49

50

．
（Ⅰ）求P的值；
（Ⅱ）设系统乙在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望E（ξ）和方差D（ξ）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）记“系统甲发生故障、系统乙发生故障”分别为事件A、B，“任意时刻至多有一个系统发生故障”为事件C．则P（C）=1-P（AB）=1-P（A）P（B），由此能求出P的值．
（Ⅱ）依题意ξ～B（3，

9

10

），由此能求出E（ξ）和D（ξ）．

解答： 解：（Ⅰ）记“系统甲发生故障、系统乙发生故障”分别为事件A、B，
“任意时刻至多有一个系统发生故障”为事件C．
则P（C）=1-P（AB）=1-P（A）P（B）=1-

1

5

•P=

49

50

，
∴P=

1

10

（Ⅱ）依题意ξ～B（3，

9

10

），
∴E（ξ）=3×

9

10

=

27

10

，
D（ξ）=3×

9

10

×

1

10

=

27

100

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．