Question

13．若φ是锐角，试比较cos（sinφ），sin（cosφ），cosφ的大小．

Answer 1

分析 讨论：①由cosφ在[0，$\frac{π}{2}$]是单调递减的，设f（φ）=φ-sinφ，可证f（φ）单调递增，根据φ＞sinφ，即可证明cos（sinφ）＞cosφ，②设cosφ=y，f（y）=y-siny，则可证f（y）单调递增，由cosφ在（0，1）内，可证cosφ＞sin（cosφ），从而得解．

解答 解：φ∈（0，$\frac{π}{2}$），
①先比较cosφ和cos（sinφ），
∵cosφ在[0，$\frac{π}{2}$]是单调递减的，
∴设f（φ）=φ-sinφ，则f（φ）是奇函数，f'（φ）=1-cos（φ）＞0，f（φ）单调递增．
又∵f（0）=0，
∴φ＞0时f（φ）＞0，即φ＞sinφ，
∴在0到$\frac{π}{2}$内，cos（sinφ）＞cosφ，
②再比较cosφ和sin（cosφ），
∵cosφ∈（0，1），
设cosφ=y，f（y）=y-siny，则：f'（y）=1-cosy＞0，f（y）单调递增．
∴cosφ在（0，1）内，cosφ＞sin（cosφ），
综上，故：cos（sinφ）＞cosφ＞sin（cosφ）．

点评 本题主要考查函数值的大小比较，考查了函数单调性的应用，根据条件利用当0＜φ＜$\frac{π}{2}$时，sinφ＜φ是解决本题的关键．有一定的难度．