Question

8．双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线3x-y+1=0平行，F₁、F₂是双曲线C的左、右焦点，M是双曲线C上一点，且|MF₁|=$\frac{3}{2}$|MF₂|=6，则双曲线的焦距长为（　　）

• A． 6
• B． 2
• C． 2$\sqrt{10}$
• D． 8

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，由两直线平行的条件，可得b=3a，运用双曲线的定义可得2a=2，求得a=1，b=3，再由a，b，c的关系可得c，进而得到焦距的长2c．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
一条渐近线与直线3x-y+1=0平行，可得$\frac{b}{a}$=3，
即为b=3a，
由|MF₁|=$\frac{3}{2}$|MF₂|=6，可得|MF₁|=6，|MF₂|=4，
由双曲线的定义可得2a=|MF₁|-|MF₂|=6-4=2，
解得a=1，b=3，
即有c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
即有焦距长为2$\sqrt{10}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查定义法的运用是解题的关键，属于中档题．