Question

19．已知函数$f（x）={log_a}x-3{log_a}2，\;a∈\{\frac{1}{5}，\frac{1}{4}，2，4，5，8，9\}$，则f（3a+2）＞f（2a）＞0的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{3}{7}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{4}{7}$

Answer 1

分析 利用对数的运算性质化简已知函数解析式，结合条件f（3a+2）＞f（2a）＞0求得a的个数，利用几何概型得答案．

解答 解：∵$f（x）=lo{g}_{a}x-3lo{g}_{a}2=lo{g}_{a}\frac{x}{8}$，
且a∈{$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{4}$，2，4，5，8，9}，$\left\{\begin{array}{l}{3+2a＞2a}\\{2a＞1}\\{\frac{2a}{8}＞1}\end{array}\right.$
∴基本事件总数为7．
当a＞1时，由f（3a+2）＞f（2a）＞0，得$\left\{\begin{array}{l}{3+2a＞2a}\\{2a＞1}\\{\frac{2a}{8}＞1}\end{array}\right.$，
解得a＞4，即a=5，8，9时才成立；
当a＜1时，3a+2＜2a，即a＜-2，∴a不存在．
∴满足f（3a+2）＞f（2a）＞0的基本事件个数为3，
∴满足f（3a+2）＞f（2a）＞0的概率为$\frac{3}{7}$．
故选：B．

点评 本题考查几何概型，考查了对数函数的性质，关键是对题意的理解，是中档题．