Question

10．5个人排成一排，要求甲排在中间，乙不排在两端，记满足条件的所有不同排法的种数为m．
（1）求m的值；
（2）求$（\sqrt{x}-\frac{2}{x}）^{\frac{3m}{4}}$的展开式的常数项．

Answer 1

分析 （1）利用排列组合的知识先排甲、再排乙，其余的任意排，从而求得结果．
（2）先求得$（\sqrt{x}-\frac{2}{x}）^{\frac{3m}{4}}$的展开式的通项公式，再令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式的常数项．

解答 解：（1）5个人排成一排，要求甲排在中间，乙不排在两端，则乙在中间的2个位置上，
则所有的方法有m=${A}_{1}^{1}$•${A}_{2}^{1}$•${A}_{3}^{3}$=12，
（2）$（\sqrt{x}-\frac{2}{x}）^{\frac{3m}{4}}$=${（\sqrt{x}-\frac{2}{x}）}^{9}$ 的展开式的通项公式为 T_r+1=${C}_{9}^{r}$•（-2）^r•${x}^{\frac{9-3r}{2}}$，
令$\frac{9-3r}{2}$=0，求得r=3，可得展开式的常数项为-8•${C}_{9}^{3}$=-672．

点评 本题主要考查排列组合、二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．