Question

5．已知函数f（x）=ax²-2ax+b，当x∈[0，3]时，|f（x）|≤1恒成立，则2a+b的最大值为1．

Answer 1

分析 通过讨论a的符号，得到f（x）的最小值和最大值，由恒成立思想可得a，b满足的条件，作出可行域，从而求出2a+b的最大值即可．

解答 解：f（x）=ax²-2ax+b=a（x-1）²+b-a，
则函数的对称轴为x=1，最值为b-a，
当a＞0时，函数f（x）图象开口向上，
当x=1时，f（x）取最小值b-a，
当x=3时取最大值3a+b，
由|f（x）|≤1恒成立，即-1≤f（x）≤1在[0，3]恒成立，
可得-1≤b-a，且3a+b≤1，且a＞0，
作出点（a，b）满足的不等式组的可行域，如上图．
则z=2a+b过点（0，1）时，取得最大值1；
当a＜0时，函数f（x）图象开口向下，
当x=1时，f（x）取最大值b-a，
当x=3时取最小值3a+b，
由|f（x）|≤1恒成立，即-1≤f（x）≤1在[0，3]恒成立，
可得-1≤3a+b，且-a+b≤1，且a＜0，
作出点（a，b）满足的不等式组的可行域，如下图．
则z=2a+b过点（0，1）时，取得最大值1．
故答案为：1．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，注意运用线性规划求最值，是一道中档题．