Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+x²+ax，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断函数的单调性．

解答： 解：函数的导数为f′（x）=x²+2x+a，
若△=4-4a≤0，即a≥1，此时f′（x）=x²+2x+a≥0恒成立，此时函数单调递增．
若△=4-4a＞0，即a＜1时，f′（x）=x²+2x+a=0，解得x=

-2± 4-4a

2

=-1±

1-a

，
当x＞-1+

1-a

或x＜-1-

1-a

时，f′（x）＞0，此时函数单调递增，
当-1-

1-a

＜x＜-1+

1-a

时，f′（x）＜0，此时函数单调递减，
故此时函数的单调递减区间为（-1-

1-a

，-1+

1-a

），
递增区间为（-1+

1-a

，+∞），和（-∞，-1-

1-a

）．

点评：本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，注意讨论a的取值范围对函数导数的影响．