Question

已知函数f（x）=asinx+bcosx+c（a，b，c∈R，a≠0，c≠1）的图象上有一个最低点（

11π

6

，1），保持f（x）图象上每一点的纵坐标不变，将横坐标缩小为原来的

3

π

倍，再将所得的图象向左平移1个单位得到函数y=g（x）的图象，又方程g（x）=3的所有正根从小到大组成一个公差为3的等差数列{a_n}．
（1）求函数g（x）的最小正周期和函数g（x）的解析式和单调递减区间；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）记b_n=

1

3

an，求b_n=

1

3

a_n，求S=a₂+a₃+

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

b106

的整数部分．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用辅助角公式对函数解析式化简整理，把最低点坐标代入求得函数的解析式，根据方程g（x）=3的所有正根从小到大组成一个公差为3的等差数列{a_n}，求出c，即可求函数g（x）的最小正周期和函数g（x）的解析式和单调递减区间；
（2）由g（x）=3，可求数列{a_n}的通项公式；
（3）利用放缩法求和，即可得出结论．

解答： 解：f(x)=asinx+bcosx+c=

a2+b2

sin(x+φ)+c的图象上有一个最低点(

11π

6

，1)⇒

11π 6 +φ= 3π 2 +2kπ(k∈Z) - a2+b2 +c=1

⇒

φ=- π 3 +2kπ(k∈Z) a2+b2 =c-1

⇒f(x)=(c-1)sin(x-

π

3

)+c．
保持f（x）图象上每一点的纵坐标不变，将横坐标缩小为原来的

3

π

倍得到函数：y=(c-1)sin(

π

3

x-

π

3

)+c，
再将所得的图象向左平移1个单位得到函数：y=(c-1)sin(

π

3

x)+c，所以，g(x)=(c-1)sin(

π

3

x)+c．
（1）因为c≠1，所以函数g（x）的最小正周期为T=

2π

π 3

=6．
又方程g（x）=3的所有正根从小到大组成一个公差为3的等差数列{a_n}，
所以c=3，g(x)=2sin(

π

3

x)+3(x∈R)，由2kπ+

π

2

≤

π

3

x≤2kπ+

3π

2

⇒6k+

3

2

≤x≤6k+

9

2

得：
函数g（x）的单调递减区间为：[6k+

3

2

，6k+

9

2

](k∈N*)
（2）g(x)=3?sin(

π

3

x)=0?

π

3

x=kπ?x=3k，于是an=3n(n∈N*)
（3）bn=

1

3

an=n⇒
设M=

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

b106

=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

106

由此，得M=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

106

=1+

2

2 + 2

+

2

3 + 3

+…+

2

106 + 106

＜1+

2

2 +1

+

2

3 + 2

+…+

2

106 + 106-1

=1+2(

1

2 +1

+

1

3 + 2

+…+

1

106 + 106-1

)=1+2[(

2

-1)+(

3

-

2

)+…+(

106

-

106-1

)]=1+2(-1+

106

)=1999．
又知M＞1+

1

2

+

1

3

+…+

1

106-1

＞

2

2 +1

+

2

3 + 2

+…+

2

106 + 106-1

=2(-1+

106

)=1998．
∴1998＜M＜1999，又a₂+a₃=15⇒2013＜S＜2014
所以S=a2+a3+

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

b106

的整数部分是[S]=2013．

点评：本题主要考查了辅助角公式的应用，三角函数的图象变换，三角函数与数列的综合，直线与曲线的关系等知识的综合运用，属于综合试题，要求考生具备一定的推理论证的能力．