Question

在△ABC中，角B所对的边长b=6，△ABC的面积为15，外接圆半径R=5，则△ABC的周长为

 

．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：根据正弦定理，由b和外接圆半径R的值即可求出sinB的值，根据三角形的面积公式得到a与c的关系式，根据大边对大角判断B是锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理表示出cosB，也得到关于a与c的关系式，利用完全平方公式化简后即可求出a+c的值，进而求出三角形ABC的周长．

解答： 解：由正弦定理得，

b

sinB

=2R，
∴sinB=

b

2R

=

3

5

．
又∵△ABC的面积为15，
∴S=

1

2

acsinB=15．
∴ac=50＞b²．
∴a，c有一个比b大，
即∠B是锐角，
∴cosB=

4

5

，
由余弦定理得，
cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

4

5

，
∴a²+c²=116，
∴（a+c）²=216，
∴a+c=6

6

，
∴△ABC的周长为a+b+c=6+6

6

．
故答案为：6+6

6

．

点评：本题考查正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式和大边对大角的应用，属于难题．