题目内容

已知函数f（x）=x2+alnx．
（1）当a=-2e时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=f（x）-2x在[1，4]上是减函数，求实数a的取值范围．
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．当a=-2e时，f′（x）=
2(x-
e
)(x+
e
)
x
，从而f（x）的单调递减区间是（0，
e
） 单调递增区间是（
e
，+∞）．
（2）由g（x）=x2+alnx-2x，得g′（x）=2x+
a
x
-2，从而g′（x）≤0在[1，4]上恒成立，即a≤2x-2x2在[1，4]上恒成立． 设h（x）=2x-2x2，所以h（x）的最小值为h（4）=-24，得a的取值范围是a≤-24．
解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
当a=-2e时，f′（x）=
2(x-
e
)(x+
e
)
x
，
当f′(x)＞0时，x＞
e
当f′(x)＜0时，0＜x＜
e
，
∴f（x）的单调递减区间是（0，
e
） 单调递增区间是（
e
，+∞）．
（2）由g（x）=x2+alnx-2x，
得g′（x）=2x+
a
x
-2，
又函数g（x）为[1，4]上的单调减函数，
则g′（x）≤0在[1，4]上恒成立，
所以不等式2x+
a
x
-2≤0在[1，4]上恒成立，
即a≤2x-2x2在[1，4]上恒成立． 
设h（x）=2x-2x2，
显然h（x）在[1，4]上为减函数，
所以h（x）的最小值为h（4）=-24，
∴a的取值范围是a≤-24．
点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，求参数的范围，是一道中档题．
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椭圆的中心在原点，准线方程为x=±
9
2
，长轴长为6的椭圆方程为（　　）
A、
x2
81
+
y2
77
=1
B、
x2
9
+
y2
5
=1
C、
x2
9
+
y2
4
=1
D、
x2
3
+
y2
5
=1
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1
2
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3
2(an-2)(2bn+5)
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k
75
对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值．
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已知
a
=3
i
-4
j
，
a
+
b
=4
i
-3
j
，
i
与
j
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（1）求向量
a
，
b
的夹角；
（2）对非零向量
p
，
q
，如果存在不为零的常数α，β使α
p
+β
q
=
0
，那么称向量
p
，
q
是线性相关的，否则称向量
p
，
q
是线性无关的．向量
a
，
b
是线性相关还是线性无关？为什么？
已知函数f（x）=2alnx-x+
1
x
，（a∈R，且a≠0）；g（x）=-x2-x+2
2
b．
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x3456
t2.5344.5
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